1. 求 lim⁡n→∞nsin⁡(2πen!)\displaystyle\lim_{n\to \infty} {n \sin(2\mathrm{\pi}\mathrm{e}n!)} .

    分析 本题乍一看有些反直觉， sin⁡\sin 是一个周期震荡的有界函数，与正无穷的 nn 相乘为什么还能有极限呢？问题就出现在 2π2\mathrm{\pi} 上，这个 2π2\mathrm{\pi} 的存在使得 en!\mathrm{e}n! 的相位不是随机震荡的，而是有一个趋近的值。

    解 把 en!\mathrm{e}n! 的整数部分和小数部分求出来，就可以用诱导公式舍弃整数部分，得出 sin⁡\sin 的真实值。

    由于 e=1+1+12!+13!+⋯+1n!+o(1(n+1)!)\displaystyle\mathrm{e}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+o\left(\frac{1}{(n+1)!}\right) ，所以

    lim⁡n→∞nsin⁡(2πen!)=lim⁡n→∞nsin⁡(2πn+1+o(1n+1))=lim⁡n→∞n(2πn+1+o(1n+1))=2π \begin{aligned} \lim_{n\to \infty} n \sin(2\mathrm{\pi}\mathrm{e}n!) & = \lim_{n\to \infty} {n \sin\left(\frac{2 \mathrm{\pi}}{n+1}+o\left(\frac{1}{n+1}{}\right)\right)} \\ & = \lim_{n\to \infty} {n \left(\frac{2 \mathrm{\pi}}{n+1}+o\left(\frac{1}{n+1}\right)\right)} \\ & = 2 \mathrm{\pi} \end{aligned}

    评注 由此可见，一个正无穷与一个周期有界函数相乘不一定就是正无穷，周期函数的相位控制的比较合适的时候，也有可能存在极限。

  2. 求 lim⁡n→∞1nln⁡n!nn\displaystyle\lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n}\ln {\frac{n!}{n^n}}} .

    解 阶乘式 n!n! 作为一个整体很不好处理，这里应该拆开。

    lim⁡n→∞1nln⁡n!nn=lim⁡n→∞1n(ln⁡1n+ln⁡2n+⋯+ln⁡nn)=lim⁡n→∞1n∑k=1nln⁡kn=∫01ln⁡xdx=[xln⁡x−x]01=−1\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n}\ln {\frac{n!}{n^n}}} & = \lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n}\left(\ln \frac{1}{n}+\ln {\frac{2}{n}+\cdots+\ln {\frac{n}{n}}}\right)} \\ & = \lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln {\frac{k}{n}}} \\ & = \int_{0}^{1}{\ln {x}} \mathrm{d} {x} \\ & = [x \ln {x} - x]_0^1 \\ & = -1 \end{aligned}

    评注 待求极限式同时包含 1n\displaystyle\frac{1}{n} 与 kn\displaystyle\frac{k}{n} 的时候，考虑使用定积分的定义，将和式转化为 [0,1][0,1] 上的定积分来计算。

  3. 施笃兹定理：设数列 {yn}\{y_n\} 单调递增且 lim⁡n→∞yn=+∞\displaystyle\lim_{n\to \infty} {y_n} = +\mathrm{\infty} ，如果 lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn\displaystyle\lim_{n\to \infty} {\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}} 存在或为 ∞\infty ，则 lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn\displaystyle\lim_{n\to \infty} {\frac{x_n}{y_n}}=\lim_{n\to \infty} {\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}}

    简记为： ∞∞\displaystyle\frac{\infty}{\infty} 形式的极限等于分子分母各自差分的极限。这里的差分类似于连续函数的求导，因此施笃兹定理又称为数列极限的洛必达法则。

  4. 对于只给定递推式的数列 xnx_n ，要证明收敛可能比较难办。

    可以考虑先证明其差分数列的无穷和 ∑n=0∞(xn+1−xn)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (x_{n+1}-x_{n}) 绝对收敛，从而得到 xnx_n 收敛。

  5. 对于只给定递推式的数列 xnx_n ，要求极限，应当这样做：

    1. 先用 4 中给的方法证明其收敛（证明极限存在）；
    2. 设其极限为 aa ；
    3. 将 aa 代入递推公式中的 xn+1,xn,xn−1x_{n+1},x_n,x_{n-1} 等项，得到一个关于 aa 的一元方程；
    4. 解方程得到极限。