前言

本文是武汉大学江先阳老师 2023 年秋《数学物理方法》课程的同步笔记。

由于我之前已经自学了《复变函数与积分变换》，这篇笔记的开设只是为了让我上课时能够不摆烂。

感谢江先阳老师和物理科学与技术学院！

第零篇 绪论

江先阳，电路设计爱好者，主要研究方向集成电路设计。

引子

早发白帝城

唐（李白）

朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。

两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。

这首诗包含了数学物理方法的一些研究对象，例如时间、速度、波等，是物理学的诗意表达。

简介

数学物理方法：建立和研究描述物理现象的数学模型时所用到的数学方法。

本课程分为三个部分：

1. 复变函数
2. 数学物理方程
   1. 线性方程
   2. * 非线性方程
   3. * 积分方程
3. 特殊函数

数学物理方法以概念、符号、关系式、方程等方式来反映事物的复杂过程，它的表述方式和分析手段尤其特殊性。

数学物理方法研究物理问题有三个步骤：

1. 将物理问题翻译成数学语言，即导出定解问题
2. 求解
3. 求得的解答进行分析

数学物理方法是物理美和数学美的结合。

如何学

1. 掌握普通物理（力、电、热）中的重要结论、高等数学中的微积分和常微分方程；
2. 课堂学习跟上思路，适当做笔记，一次记住，而不是课下重学；
3. 课下复习、练习、提问题；
4. 多交流

每个同学需要出一道考试题。期末考试的题目，就来自于各位同学自己出的题（老师可能会改编）。

辅助资料

吴崇试 《数学物理方法》 北京大学出版社 2020

菲利克斯·克莱因 《高观点下的初等数学》 华东师范大学出版社 2020

课程考核

平时成绩：30%

• 期中考试
• 平时作业
• 签到率（每节课都有，总共至少签8次）（暗示可以旷课8次）
• 出期末考试题

期末考试：70% （卷面分必须在55分以上，否则捞不动）

第一篇 复变函数论

第一章 解析函数

第一节 复数及其运算

引言

复变函数的内容：

• 将实变函数中函数、极限、连续、微商、积分、级数等概念推广到复变函数中。
• 解除了实数领域中的若干禁令。
• 建立了三角函数和指数函数、双曲函数的关系。

复变函数的直接应用：

• 解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法；
• 解微分方程的初值问题，如：拉普拉斯变换法；
• 计算实积分，如：留数定理

本章的中心问题是解析函数的问题。

复数的概念

复数的表示方法有两种：

$$z=(x,y)=x+\mathrm{i}y$$

因为复数和复平面上的点一一对应，所以可以写成坐标形式，但一般还是推荐写成多项式 $x+\mathrm{i}y$ 形式。

复数的共轭：

$$\overline{z}=x-\mathrm{i}y$$

共轭体现在复平面上，其实就是某个点关于 $x$ 轴的对称点或镜像。

复数的实部和虚部

$$x=\text{Re}z$$

$$y=\text{Im}z$$

性质：

1. 若 $z_1=x_1+\mathrm{i}y_1,z_2=x_2+\mathrm{i}y_2$ ，则 $\displaystyle z_1=z_2 \Leftrightarrow \begin{cases}x_1=x_2 \\ y_1=y_2\end{cases}$
2. $z$ 无大小，也不能比大小，只能判等。
3. 对于有理运算 $R(a,b,c,\cdots)$ ，共轭复数满足 $\displaystyle\overline{R(a,b,c,\cdots)}=R(\overline{a},\overline{b},\overline{c},\cdots)$

复数的表示方法

1. 几何表示

   1. 点 $z$
   2. 向量 $\overrightarrow{oz}$
   3. 极坐标 $(\rho,\phi)$
   4. 复球表示

   上述表示方法在中， $z$ 的模 $\displaystyle\rho=|z|=|\overrightarrow{oz}|=\sqrt{x^2+y^2}$

   $z$ 的辐角是多值， $\displaystyle\phi=\text{Arctg} \frac{y}{x}=\text{Arg}z$

   规定辐角主值 $\text{arg}z$ 满足

$$-\mathrm{\pi} < \arg z \le \mathrm{\pi}$$

$$\text{Arg}z=\arg z \pm 2k \mathrm{\pi},k=0,1,2,\cdots$$

因为 $\displaystyle\arctan \frac{y}{x}$ 是一个单值函数，其值域是 $\displaystyle(-\frac{\mathrm{\pi}}{2},\frac{\mathrm{\pi}}{2})$ ，不能覆盖到 $\displaystyle(-\mathrm{\pi},\mathrm{\pi}]$ ，所以反正切求辐角主值必须加以修正。

具体的， $\arg z$ 与 $\displaystyle\arctan \frac{y}{x}$ 的关系是

$$\arg z = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x}, & x>0,y>0 \text{（第一象限）} \\ \arctan \frac{y}{x}+\mathrm{\pi}, & x<0,y>0 \text{（第二象限）}\\ \arctan \frac{y}{x}-\mathrm{\pi}, & x<0,y<0 \text{（第三象限）} \\ \arctan \frac{y}{x}, & x>0,y<0 \text{（第四象限）} \end{cases}$$

2. 代数表示

$$z= \begin{cases} x+ \mathrm{i} y \\ \rho \cos \varphi + \mathrm{i} \rho \sin \varphi \\ \rho \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi} \end{cases}$$

3. 黎曼球表示

   规定 $\infty$ 为复平面上的无穷远点，其实部和虚部没有意义，但是可以作为整体参与运算。其运算规则与实变函数的无穷一样。

复数的运算

复数的运算结果、运算规则都与实数相符合，且满足 $\mathrm{i} ^2 = -1$ 。

规定 $z_1=x_1+\mathrm{i}y_1, z_2=x_2+\mathrm{i}y_2$ 则有

$$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+\mathrm{i}(y_1\pm y_2)$$

$$z_1\times z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+\mathrm{i}(x_1y_2+y_1x_2)$$

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\phi_1+\phi_2)}$$

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1} / \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\phi_1-\phi_2)}$$

$$z_1^2-z_2^2=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$$

$$(z_1+z_2)^n = \sum_{m=0}^n C_n^m z_1^m z_2^{n-m}$$

$$z^n=|z|^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\text{Arg}z}$$

$$\sqrt[m]{z} = \sqrt[m]{|z|} \mathrm{e} ^ {\mathrm{i} \frac{\arg z + 2k \mathrm{\pi}}{m}}, \begin{cases} k=0,1,2,\cdots,m-1, \\ m\ge2 \end{cases}$$

$$(\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi)^n = \cos n\varphi + \mathrm{i} \sin n\varphi \text{（棣莫弗公式）}$$

特殊性质：

$$\arg z_1z_2 = \arg z_1 + \arg z_2$$

作业

习题1.1: 1(2),(4); 2(3); 4(2); 6(2); 7(2)

第二节 复变函数

定义

设 $E$ 为一点集， $f(z):z\in E\rightarrow w=u+\mathrm{i}v$ ，其中 $u,v$ 为实数。

则 $w=f(z)$ 为复变函数，其中 $z\in E$ ， $E$ 为定义域， $w$ 为值域。

分类

• 单值
  • 单叶 $z\leftrightarrow w:(w=az+b)$
  • 多叶 $\displaystyle z_1,z_2,z_3,\cdots \rightarrow w : (w=z^2)$
• 多值（例如 $\sqrt[3]{z}$ ）

几何意义

将平面上的点集 $E$ 映射到点集 $F$ 。

例如，点集 $|z|=1$ 经过 $w=z^2$ 映射之后到点集 $\{(1,0)\}$

区域

此部分直观理解即可，不需要记定义。

邻域：$\forall z\in|z-z_0|<\varepsilon$ 的点集称为 $z_0$ 的邻域。

去心邻域：$0<|z-z_0|<\varepsilon$ 表示去心邻域。

内点：若 $z_0$ 总有一个领域 $N(z_0,\varepsilon)$ 全含于点集 $\sigma$ 内，则称 $z_0$ 为 $\sigma$ 的内点。

区域：若点集 $\sigma$ 满足：

1. 全由内点组成
2. 设 $z_1\in\sigma, z_2\in\sigma$ ，且 $z_1,z_2$ 可以用全在 $\sigma$ 中的折线连接。

则称 $\sigma$ 是区域。

区域不包含边界，因为边界上的点不是内点。

外点：若 $z_0\notin \sigma$ 并且总有一个邻域 $N(z_0,\varepsilon)$ 不含有 $\sigma$ 的点，则称 $z_0$ 为 $\sigma$ 的外点。

界点：若 $z_0\notin \sigma$ 并且有总一个邻域 $N(z_0,\varepsilon)$ 含有 $\sigma$ 的点，则称 $z_0$ 为 $\sigma$ 的界点。

边界：全体界点构成区域的边界。

边界正向：沿着边界走，区域总在左方，就是边界的正方向。简单理解为逆时针就是正方向。

闭区域： $\overline{\sigma}=\sigma+l$ 。

单连通区域：在区域内作任何简单闭曲线，曲线上的点都是属于此区域的。不能包含：“洞”或“点洞”

复连通区域：如果一个区域不是单连通区域，就是复连通区域。

极限和连续性

定义与实变类似，不需要记忆。

$w=f(z):\forall \varepsilon>0, \exist \delta>0,$ 如果 $0<|z-z_0|<\delta$ 时有 $|f(z)-w_0|<\varepsilon$ ，

则 $\lim_{z\to z_0} {f(z)} = w_0$ 为极限

若 $\lim_{z\to z_0} {f(z)} = f(z_0)$ ，

则 $f(z)$ 在 $z_0$ 点连续。

第三节 微商及解析函数

微商

定义与实变类似。

$w=f(z)$ 是 $z$ 点及 $N(z,\varepsilon)$ 上的单值函数，

若 $\displaystyle\lim_{\Delta z \to 0} {\frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}}$ 存在极限，

则记 $\displaystyle f'(z) = \lim_{\Delta z\to 0} {\frac{\Delta f}{\Delta z}}$ ，称为 $f(z)$ 在 $z$ 点的导数。

注意：

• 如果极限没有注明方向， $\displaystyle \lim_{\Delta z\to 0} {\frac{\Delta f}{\Delta z}}$ 是指自变量从任意方向趋于 $0$ ，需要考虑整个平面内的趋近方式。
• 可导必然连续，连续不一定可导，例如 $f(z)=\text{Re}z=x$ 在复平面中处处连续，但处处不可导。

可导的充分必要条件

可导的必要条件：柯西-黎曼条件（C-R条件）

$$\left\{ \begin{aligned} \displaystyle & \frac{\partial {u}}{\partial {x}} = \frac{\partial {v}}{\partial {y}} \\ \displaystyle & \frac{\partial {v}}{\partial {x}} = - \frac{\partial {u}}{\partial {y}} \end{aligned} \right.$$

可导的充分条件：

同时满足

• $u_x,u_y,v_x,v_y$ 均连续
• 满足 C-R 条件

解析函数

定义

若 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 以及 $N(z_0,\varepsilon)$ 可导，则称 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 点解析（Analytic,regular,holomorphic）。

若 $w=f(z)$ 在区域 $\sigma$ 内处处可导，则称 $w=f(z)$ 在区域 $\sigma$ 解析，记作 $f(z)\in H(\sigma)$ 。

解析是比可导更加严苛的条件。解析必然可导，可导不一定解析。

如果确定谈论的 $\sigma$ 是一个区域，那么可导和解析就完全等价。

不解析的点成为奇点。

解析的必要条件、充分条件和可导是一样的。

若 $f(z)=u+\mathrm{i}v \in H(\sigma)$ ，则有如下性质：

• 设 $\displaystyle \Delta = \frac{\partial^2 {}}{\partial {x^2}} + \frac{\partial^2 {}}{\partial {y^2}}$ 为拉普拉斯算子，则有 $\displaystyle \Delta u = 0, \Delta v = 0$ 。
• $\nabla u \cdot \nabla v = 0$
• 已知 $u,v$ 之一均可求出解析函数。
• 解析函数的和差积商仍为解析函数。

第四节 初等解析函数

幂函数

• 定义

$$w=z^n(0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$$

• 解析区域：除 $z=0$ 的复平面
• 满足幂运算 $z^m \cdot z^n = z^{m+n}$
• 对于多项式函数 $P(z),Q(z)$ ，有理函数 $\displaystyle w=\frac{P(z)}{Q(z)}$ 除了 $Q(z)=0$ 处外全部解析

指数函数

• 定义

$$w=\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)$$

• 解析区域：整个复平面
• 满足实变函数相同的性质
• 新性质
  • 周期性： $\mathrm{e}^{z+\mathrm{i}2k \mathrm{\pi}} = e^z(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$
  • $\mathrm{e}^z$ 不一定大于 $0$

三角函数

• 定义

$$\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2 \mathrm{i}}$$

$$\cos z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2}$$

$$\tan z=\frac{\sin z}{cos z},\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\sec z=\frac{1}{\cos z}, \csc z=\frac{1}{\sin z}$$

• 解析区域：复平面（除分母为 $0$ 外）
• 与实函数相同的性质
• 新性质： $|\sin z|,|\cos z|$ 不再有界，而有可能是任何正数

双曲函数

• 定义

$$\sinh z=\frac{\mathrm{e}^z-\mathrm{e}^{-z}}{2},\cosh z=\frac{\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{-z}}{2}$$

• 解析区域：复平面
• 与实函数相同的性质： $\cosh^2z-\sinh^2z=1$ ……
• 新性质
  • 初等单值函数与相应实函数的定义在形式上相同
  • 在其解析区域内均解析
  • 满足实函数具有的性质

根式函数

是多值函数

• 定义

  若 $w^n=z$ 则记 $w=\sqrt[n]{z}(n=2,3,\cdots)$

• 是多值函数

  为了和单值函数一样研究连续性和解析性，就需要单值化，通过限制定义域，例如限制辐角范围

• 支点：当变量绕支点一周时函数值会改变的点，绕其 $n$ 周以后函数值还原的支点为 $n-1$ 阶支点

  对于 $w=\sqrt{z}$ ，有两个支点，分别为 $z=0,\infty$ ，都是一阶支点

• 单值分支：限制 $z$ 的变化范围得到的若干单值函数

• 支割线：连接支点割开 $z$ 平面的线（当 $z$ 连续变化时，不得跨越支割线，不一定是直线）

• 黎曼面：互相交叠的若干叶 $z$ 平面

• 解析性：每一单值支均解析，分支点以及割线上的点都是奇点（如果某一点不再割线上，就解析）

对数函数

是多值函数

• 定义

  若 $z=\mathrm{e}^w$ ，则 $w=\text{Ln}z$

• 多值性的体现： 体现在 $z$ 的辐角与 $w$ 的虚部的对应关系上

• 支点： $0,\infty$

• 单值分支： $\text{Ln}z=\ln|z|+\mathrm{i}(\arg z+2k \mathrm{\pi})$

• 主值支： $\ln z=\ln|z|+\mathrm{i}\arg z$

• 黎曼面：无穷多叶

• 解析性：每一单值支均解析

• 性质：和实数的对数运算一样

讨论多值函数支点的方法

对于每个单项式，分解因式。对于每个因式的零点，考虑绕零点几周后才能还原。最后用排列组合的方法得到总的值数。

第五节 解析函数的几何性质

复变函数 $w=f(z)$ 给出了从 $z$ 平面上将点集 $E$ 映射到 $w$ 平面上点集 $F$ 的对应关系， $w$ 称为像点， $z$ 称为原像。

单叶变换定理

我们需要从变换

$$w=f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$$

解出 $x$ 和 $y$ 作为 $u,v$ 的单值函数。允许这样做的条件就是 $w$ 的雅可比行列式不等于 $0$

$$J= \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial {u}}{\partial {x}} & \displaystyle\frac{\partial {u}}{\partial {y}} \\ \displaystyle\frac{\partial {v}}{\partial {x}} & \displaystyle\frac{\partial {v}}{\partial {y}} \end{vmatrix} \ne0$$

具体地，借助 C-R 条件可以推出

$$\begin{aligned} J & = \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial {u}}{\partial {x}} & \displaystyle\frac{\partial {u}}{\partial {y}} \\ \displaystyle\frac{\partial {v}}{\partial {x}} & \displaystyle\frac{\partial {v}}{\partial {y}} \end{vmatrix} \\ & = \frac{\partial {u}}{\partial {x}}\frac{\partial {v}}{\partial {y}}-\frac{\partial {v}}{\partial {x}}\frac{\partial {u}}{\partial {y}} \\ & = \left(\frac{\partial {u}}{\partial {x}}\right)^2 + \left(\frac{\partial {u}}{\partial {y}}\right)^2 \\ & = \left|\frac{\partial {u}}{\partial {x}}-\mathrm{i}\frac{\partial {u}}{\partial {y}}\right|^2 \\ & = |f'(z)|^2 \ne 0 \end{aligned}$$

结论：

若 $w=f(z)$ 是区域 $\sigma$ 中的解析函数，且 $f'(z)\ne0$ ，则变换 $w=f(z)$ 在区域 $\sigma$ 上构成一一对应的单叶变换。

简单理解为：如果导数都不为 $0$ ，那么自变量和函数值一一对应。

导数的几何意义

略

保角变换

解析函数在导数不为零的各点实现保角变换。

保角变换，简单理解成，从某一点发出两条射线形成了一个角，这两条射线经过 $w=f(z)$ 变换后，在新的平面内形成的夹角和之前完全一样。

庞加莱单值化定理：所有曲面都可以被保角变换映射到曲率为常数的曲面。

• 曲率为正的时候，曲面可以局部保角变换映射到球面上；
• 曲率为零的时候，曲面可以局部保角变换映射到欧式平面上；
• 曲率为负的时候，曲面可以局部保角变换映射到双曲平面上；

拉普拉斯方程在保角变换下仍为新平面内的拉普拉斯方程，泊松方程在保角变换下仍为新平面内的泊松方程。

第二篇 数学物理方程

第六章 定解问题

三类数学物理方程

波动方程

$$u_{tt} = a^2 \Delta u + f$$

是一个双曲型方程。

其中，可以认为 $t$ 是时间， $u$ 为波动位移， $a$ 是波速， $f$ 是与源有关的函数

$$u_{tt} = \frac{\partial^2 {u}}{\partial {t^2}}$$

$$\Delta = \frac{\partial^2 }{\partial {x^2}} + \frac{\partial^2 }{\partial {y^2}} + \frac{\partial^2 }{\partial {z^2}}$$

输运方程

$$u_t = D \Delta u + f$$

是一个抛物型方程。

其中， $u$ 为浓度， $D$ 为系数， $f$ 为与源有关的已知量。

$$u_t = \frac{\partial {u}}{\partial {t}}$$

泊松方程

$$\Delta u = -h$$

是一个椭圆型方程。

其中， $u$ 为稳定物理量（ $u$ 不随时间变化） ， $h$ 为与源有关的已知量。

其实，泊松方程就是输运方程的特殊情况，即 $u_t=0$ 的情况。

共同点

都是二阶线性偏微分方程。

用数理方程研究物理问题的步骤

• 提出定解问题
  • 泛定方程
  • 定解条件
  • 定解问题
• 求解
  • 行波法（或达朗贝尔解法）
  • 分离变量法
  • 积分变换法
  • 格林函数（或积分公式）法
  • 变分法
• 分析解答
  • 存在性
  • 唯一性
  • 稳定性
  • 同时满足以上三个条件，就成为其是适定的（适当且确定的）

三类数理方程的导出

弦的横振动方程

细长而柔软的弦线紧绷于 $A,B$ 两点之间，作振幅极微小的横振动，求其运动规律。

研究弦的位移 $u(x,t)$ ，假设线密度与位移无关（即 $\rho(x,t) = \rho(t)$ ），重力为零，且有 $u_x\approx0$ 。

考虑一段 $\Delta x$ 的受力情况。

• 在 $x$ 方向： $-T_1\cos\alpha_1 + T_2\cos\alpha_2 = 0$
• 在 $y$ 方向：$F(x+\eta_1\Delta x,t)\Delta x-T_1\sin\alpha_1+ T_2\sin\alpha_2 = (\rho\Delta x)u_{tt}(x+\eta\Delta x,t)$

其中 $F(x,t)$ 表示单位长度所受的外力。

根据 $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\approx1$ ，代入原式，得到 $T_1=T_2=T$ 。

考虑到 $u_x = \tan\alpha$ ，可以得出 $\displaystyle \sin\alpha = \frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}} \approx u_x$ ，于是原方程化为

$$\begin{aligned} (\rho\Delta x)u_{tt}(x+\eta\Delta x,t) &= T[u_x(x+\Delta x,t) - u_x(x,t)] + F(x+\eta_1\Delta x,t)\Delta x \\ u_{tt}(x+\eta\Delta x,t) &= \frac{T}{\rho}\frac{u_x(x+\Delta x,t) - u_x(x,t)}{\Delta x} + \frac{1}{\rho} F(x+\eta_1\Delta x,t) \end{aligned}$$

左右两边求极限，令 $\Delta x \to 0$ ，得到

$$u_{tt} = a^2u_{xx} + f(x,t)$$

这就是弦的横振动方程，其中 $\displaystyle a^2=\frac{T}{\rho}, f(x,t)=\frac{F(x,t)}{\rho}$

如果外力为 $0$ ，就退化为自由振动方程 $u_{tt} = a^2u_{xx}$

热传导方程

• 比热：单位物质升高一度需要的热量 $\displaystyle c=\frac{Q}{\rho VT}$
• 热流密度：单位时间内流过单位面积的热量 $\displaystyle q=\frac{Q}{tS}$
• 傅里叶实验定理：热流密度与温度的下降率成正比，即 $\displaystyle q=-k\frac{\partial {T}}{\partial {n}}$ ，其中 $k$ 为导热率， $n$ 为截面法向
• 热源强度：单位时间内单位体积放出的热量 $\displaystyle F=\frac{Q}{tV}$

设 $u(x,t)$ 表示杆上 $x$ 点在 $t$ 时刻的温度。

• 单位时间内使其温度升高的热量 $Q = c(\rho S\Delta x)\Delta T = c\rho S\Delta x[u(x,t+\Delta t)-u(x,t)]=c\rho S\Delta xu_t$
• 单位时间内流入的热量 $\displaystyle Q_1 = q\Delta tS = -k\left.\frac{\partial {T}}{\partial {n}}\right|_{x} \Delta tS = -ku_x(x,t)S\Delta t$
• 单位时间内流出的热量 $\displaystyle Q_2 = q\Delta tS = -k\left.\frac{\partial {T}}{\partial {n}}\right|_{x+\Delta x} \Delta tS = -ku_x(x+\Delta x,t)S\Delta t$
• 内部热源产生的热量 $Q_3 = FV\Delta t = FS\Delta x\Delta t$

根据能量守恒定律，单位时间内流入 $\Delta x$ 段的净热量加上内部热源产生的热量，就等于使其温度产生变化的热量，即

$$\begin{aligned} Q &= Q_1 - Q_2 + Q_3 \\ c\rho S\Delta xu_t &= -ku_x(x,t)S\Delta t +ku_x(x+\Delta x,t)S\Delta t + FS\Delta x\Delta t \\ u_t &= \frac{1}{c\rho} \left[k \frac{u_x(x+\Delta x,t) - u_x(x,t)}{\Delta x} + F\right] \\ u_t &= \frac{k}{c\rho}u_{xx} + \frac{F}{c\rho} \\ u_t &= Du_{xx} + f(x,t) \end{aligned}$$

泊松方程

在充满了介电常数 $\varepsilon$ 的介质区域有体密度为 $\rho(x,y,z)$ 的电荷，求此区域中的静电场分布。

研究的问题： $E=-\nabla V$ ，其中 $V$ 为标量电势， $\nabla$ 为哈密顿算子， $\displaystyle\nabla = \frac{\partial }{\partial {x}}\overrightarrow{i} + \frac{\partial }{\partial {y}}\overrightarrow{j} + \frac{\partial }{\partial {z}}\overrightarrow{k}$

（哈密顿算子与拉普拉斯算子的关系是 $\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla$ ）

奥-高定理：通过一封闭面的净余电通量等于该平面内所有电荷的代数和。

选择一个封闭曲面 $S$ ，围出空间区域 $\tau$ ，由奥-高定理有

$$\oint_{S} {\overrightarrow{E}}\mathrm{d} {\overrightarrow{s}} = \frac{1}{\varepsilon} \int_\tau{\rho} \mathrm{d} {\tau}$$

根据高斯公式有

$$\oint_{S} {\overrightarrow{E}}\mathrm{d} {\overrightarrow{s}} = \int_\tau{\nabla}\overrightarrow{E} \mathrm{d} {\tau}$$

可得

$$\frac{1}{\varepsilon} \int_\tau{\rho} \mathrm{d} {\tau} = \int_\tau{\nabla}\overrightarrow{E} \mathrm{d} {\tau}$$

等式恒成立，即 $\displaystyle \nabla \overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}$ 。

将 $E=-\nabla V$ 化为 $\nabla E=-\nabla\cdot\nabla V = -\Delta V$ ，再代入上式可得

$$\Delta V = -\frac{1}{\varepsilon}\rho$$