数竞题中的奇妙片段

求 lim⁡n→∞nsin⁡(2πen!)\displaystyle\lim_{n\to \infty} {n \sin(2\mathrm{\pi}\mathrm{e}n!)}n→∞lim​nsin(2πen!) . 分析 本题乍一看有些反直觉， sin⁡\sinsin 是一个周期震荡的有界函数，与正无穷的 nnn 相乘为什么还能有极限呢？问题就出现在 2π2\mathrm{\pi}2π 上，这个 2π2\mathrm{\pi}2π 的存在使得 en!\mathrm{e}n!en! 的相位不是随机震荡的，而是有一个趋近的值。 解 把 en!\mathrm{e}n!en! 的整数部分和小数部分求出来，就可以用诱导公式舍弃整数部分，得出 sin⁡\sinsin 的真实值。 由于 e=1+1+12!+13!..